Мета уроку: Пояснити учням найпростіші наслідки, що випливають з аксіом стереометрії, закріпити їх, ознайомити з методом доведення, виробити основи просторового мислення.
Обладнання уроку:
Тип уроку: комбінований урок.
Тривалість уроку: 45 хвилин.
Дата проведення:
Хід уроку:
1. Організаційна частина. (2-3 хв.)
З дзвінком захожу в клас, чекаю, поки учні заспокояться, вітаюсь, повідомляю, що я буду читати в них уроки математики протягом деякого часу, кажу, як мене звати. Запитую в чергових, хто відсутній, відмічаю.
2. Актуалізація знань. (5 хв.)
Прошу в учнів назвати основні фігури у просторі (точка, пряма, площина). Кажу, що введення нового геометричного образу – площини – вимагає розширення системи аксіом. Прошу учнів сформулювати основні аксіоми стереометрії, викликаю когось до дошки для ілюстрації аксіом.
1. Яка б не була площина, існують точки, що належать цій площині, і точки, які не належать їй.
2. Якщо дві різні площини мають спільну точку, то вони перетинаються по прямій.
3. Якщо дві різні прямі мають спільну точку, то через них можна провести площину і до того ж тільки одну.
3. Пояснення нового матеріалу.
Повідомляю учням, що сьогодні ми будемо розглядати наслідки з аксіом стереометрії.
Запитую учнів, як можна задати площину. Відповідають, за С3 – двома прямими, що перетинаються. А чи можна задати площину іншим способом? Виявляється, можна.
Теорема 14.1. Через пряму і точку, яка не лежить на ній, можна провести площину і до того ж одну.
’, яка проходить через пряму а і точку В. Ці площини різні, отже за С2 вони перетинаються по прямій, а саме по прямій а. Отже, спільна точка цих двох площин повинна лежати на прямій а. Але дана точка В, спільна для обох площин, за умовою не лежить на прямій а. Прийшли до протиріччя. Отже, площина єдина. Теорему доведено.a проходить через пряму а і точку В. Доведемо, що ця площина єдина. Припустимо, є ще одна площина aДоведення: нехай a – дана пряма, В – точка, яка не лежить на ній. Візьмемо на прямій а яку-небудь точку А. Така точка існує за аксіомою А1 планіметрії групи належності. Проведемо через точки А і В пряму b (А2). Прямі а і b різні, оскільки точка В не належить прямій а. Ці прямі мають спільну точку А. За С3, через дві різні прямі, що перетинаються, можна провести площину. Ця площина
Прошу когось з учнів відтворити доведення теореми за схематичним записом на дошці.
Задача: чотири точки не лежать в одній площині. Чи можуть будь-які три з них лежати на одній прямій. Відповідь пояснити.
Далі даю дві теореми без доведення, пояснюючи їх зміст та ілюструючи їх.
Теорема 14.2. Якщо дві точки прямої належать площині, то вся пряма належить цій площині.
Наслідок. Площина і пряма, яка не лежить на ній, або не перетинаються, або перетинаються в одній точці.
Задача: Дано дві різні прямі, які перетинаються в точці А. Довести, що всі прямі, які перетинають дві дані прямі і не проходять через точку А, лежать в одній площині.
Кажу учням, що ми вже маємо два способи задання площини. А чи є ще способи? Виявляється, так.
Теорема 14.3. Через три точки, які не лежать на одній прямій, можна провести площину і до того ж одну.
Доведення: Нехай А, В, С – три дані точки, які не лежать на одній прямій. Проведемо прямі АВ і АС – вони різні, бо точки А, В, С не лежать на одній прямій. За аксіомою С3 через прямі АВ і АС можна провести площину, яка містить точки А, В, С. Доведемо, що ця площина єдина. Справді, ця площина містить прямі АВ і АС, що перетинаються. За С3 така площина єдина.
4. Розв’язування задач.
1. Точки А, В, С, D не лежать в одній площині. Довести, що прямі АВ і СD не перетинаються.
2. Чи можна через точку перетину двох даних прямих провести третю пряму, яка не лежить з ними в одній площині. Пояснити відповідь.
10. Дано чотири точки, які не лежать в одній площині. Скільки можна провести різних площин, які проходять через будь-які три з цих точок? Пояснити відповідь.
5. Підсумок уроку.
Кажу учням, щоб записали в щоденники домашнє завдання – повторити §14, п.82, відповісти на запитання після §14, виконати вправи №5, 8.
Урок закінчено, до побачення.