Співвідношення кутів та сторін у прямокутному трикутнику.

Тема: Співвідношення кутів та сторін у прямокутному трикутнику.
Мета: ознайомити учнів з поняттям синуса, тангенса та котангенса гострого кута прямокутного трикутника;формувати вміння виражати сторони прямокутного трикутника через відомі сторони та тригонометричні функції кутів, розвивати інтерес до математики та її історії; ознайомити з методами обчислення тригонометричних функцій кутів та комп’ютерним набором цих функцій, розвивати просторову уяву, продемонструвати зв’язок математики з іншими науками.

Структура уроку.



Хід уроку.

І. Організаційна частина.

ІІ. Перевірка домашнього завдання.
Оскільки попередня тема мало пов’язана з темою уроку, тому задля економії часу перед уроком учні-консультанти перевіряють наявність домашніх робіт. Крім того консультанти надають допомогу учням, відповідаючи на запитання, що виникали в них при розв’язуванні задач в дома. На початку уроку учні-консультанти звітують про наявність домашнього завдання в учнів та повідомляють про запитання, які виникали в учнів.

ІІІ. Актуалізація опорних знань.
Гра «Геометричний хокей»
На дошці запитання гри. Першого учасника вибирає учитель. Якщо він відповідає на запитання, то гол вважається забитим у ворота учителя, якщо – ні, то гол у ворота учнів.
Учні можуть «пасувати» запитання іншому.

Запитання гри.
1. Як називаються сторони прямокутного трикутника?
2. Що таке косинус гострого кута прямокутного трикутника?
3. Від чого залежить значення косинуса кута?
4. Сформулюйте теорему Піфагора.
5. Які наслідки має ця теорема?
6. Чому дорівнює гіпотенуза прямокутного трикутника зі сторонами 3 дюйма та 4 дюйма? Як називається такий трикутник?
7. Який трикутник називається рівнобедреним? Які властивості він має?

ІV. Мотивація навчальної діяльності.
Розглянемо такий приклад.
1. Під вашим вікном росте дерево, на верхівку якого не можна дістатися. Як знайти висоту цього дерева, якщо ви маєте змогу визначити будь-який кут, та відстань по землі до дерева.
Яке значення для людини мають дерева? Чому їх потрібно оберігати?

2. У давні часи люди не мали можливості визначати великі відстані, наприклад між зірками, планетами. Проте вони могли знайти кут між небесними тілами на небесній сфері. Тому в стародавньому світі астрономія перед геометрією поставила проблемне питання: навчитися співставляти кути та сторони трикутника. Так з’явився розділ математики, який називається тригонометрією.
3. Повідомлення теми та мети уроку.

V. Пояснення нового матеріалу.
1. За допомогою опорних схем ввести поняття синуса, тангенса та котангенса гострого кута у прямокутному трикутнику.

2.



3. Коротке пояснення походження слів «синус» та «тангенс».
Слово «синус» скоріше за все є перекладом індуського слова «джайб» (означає заглиблення, порожнина), яке є спотворенням від слова «джива», що означає хорда, тятива лука.
Слово тангенс в перекладі з латині означає «дотичний». Походження його пов’язане з тінню від сонячних годинників.

4. Розв’язування вправ за готовими малюнками (напівусно): знайти синус, тангенс та котангенс кута α.


5. За означенням відношення сторін можна обчислювати невідомі катети та гіпотенузу трикутника при наявності даних про одну з сторін та кут. Сформул
юємо відповідні правила (опорні схеми, які роздаються кожному учневі):



6. Для прикладу використання цих правил-схем повернутися до розв’язування задачі про дерево (розв’язується учнем біля дошки)

Розв’язування: Використовуючи відповідне правило знаходження невідомого катета, h=dtgα.

Закріплення нових знань.
1. Робота в парах.
Заповнити таблицю. Кожна пара обирає відповідний рівень.

Сторони трикутника

Відомості про кут

a

B

C

5√3 см

 

10 см

cosα=0,5

10√15 дм

10 дм

 

sinβ=0,25

 

9 дюймів

 

tgα=3


І рівень



II рівень

Сторони трикутника

Відомості про кут

a

b

c

 

2 см

 

cosα=0.5

 

 

6√3 дм

sinβ=

3 дюймів

 

 

сtgα=3



2. Звірити відповіді отримані в групах з відповідями, записаними на дошці.
3. Звернути увагу учнів на те, що значення синуса, тангенса та котангенса залежить лише від градусної міри кутів, а не залежить від сторін та розміщення трикутника. З доведення цього учні ознайомлять під час вивчення теми «Основні тригонометричні тотожності».
4. Для різних градусних мір кутів прямокутного трикутник складено таблиці синусів, косинусів, тангенсів та котангенсів. Найперші такі таблиці з’явилися у ІІ ст. до н.е. в працях відомого астронома Гіппарха із Нікеї. А найвідомішою є «Чотирьохзначна таблиця» Брадіса. (Демонструється.). У наш комп’ютеризований час можна знаходити значення синусів, косинусів, тангенсів та котангенсів за допомогою калькуляторів та комп’ютерних програм.(демонструється за допомогою Note Book використання комп’ютерної програми «Калькулятор» в режимі «інженерний» та об’єкту «Microsoft Equation 3.0» для текстового набору цих функцій.)
5. Задача (розв’язується колективно)
У рівнобічній трапеції з основами а та b (а>b) кут при більшій основі становить α.
Знайти бічну сторону трапеції.
Розв’язання Нехай АВСД – трапеція, АВ=а, СД=b. Проведемо висоти трапеції ДМ і СК. Трикутники АМД і СКВ рівні, а чотирикутник ДСКМ – прямокутник, тому АМ = КВ = (а–b)/2.
З прямокутного трикутника АМД: АД = АМ/cosα = (а–b)/2 cosα
Відповідь: (а–b)/2 cosα

6. Задача про піраміду Хеопса.
Найбільшою серед єгипетських пірамід є піраміда Хеопса. Площа її основи близько 54 000 кв.м. Кожен, хто приїздить подивитись на них, мріє піднятися на вершину піраміди. Зрозуміло, що турист вибере найкоротший шлях – по висоті бічної грані. (демонструється модель правильної чотирикутної піраміди). Бічна грань – рівнобедрений трикутник, тангенс кута при основі якого дорівнює 1,6. За скільки часу турист підніметься на вершину піраміди Хеопса, якщо він рухатиметься зі швидкістю 0,5 км/год.
Колективно складається план розв’язання задачі, а потім кожен учень самостійно її розв’язує.
1) Знаючи площу основи піраміди (квадрата), знайти сторону основи піраміди, яке являється основою рівнобедреного трикутника.
2) Знайти довжину шляху туриста – висоту трикутника, використовуючи відповідне правило.
3) Перевести швидкість у м/хв. та знайти час підйому.

7. Для учнів, які раніше справляться з розв’язанням задачі запропонувати розв’язати тестові завдання по темі уроку. (як додаткова вправа).

VІ. Розв’язування задач.

Перевір себе!
1)Синусом кута називається відношення:
а) протилежного катета до гіпотенузи
б) прилеглого катета до гіпотенузи
в) прилеглого катета до протилежного катета
г) протилежного катета до прилеглого катета.

2) Щоб визначити невідомий катет, прилеглий до даного кута, треба знайти:
а) добуток гіпотенузи на синус кута
б) добуток гіпотенузи на косинус кута
в) частку від ділення іншого катета на тангенс кута
г) частку від ділення іншого катета на котангенс кута.

3) Як можна визначити невідому сторону прямокутного трикутника?
а) за периметром
б) за теоремою Фалеса
в) за теоремою Піфагора Самоського
г) за єгипетським трикутником

4) Значення синуса залежить від:
а) сторін трикутника
б) можливостей калькулятора
в) розміщення трикутника
г) градусної міри кута.

5) У рівнобедреному прямокутному трикутнику тангенс гострого кута дорівнює:
а) 1,
б) 2
в) 0,5
г) не достатньо даних для визначення відповіді

6) Знайти висоту паралелограма, проведену до більшої сторони, якщо менша сторона 10 см, а синус кута між сторонами паралелограма дорівнює 0,4.
а) 40 см,
б) 4 см,
в) 0,04 см,
г) інша відповідь                                                                                                                                                      *
8. Скласти задачу-малюнок для сусіда (із записом у його зошиті), відповідну до теми уроку.

VІІ. Підсумок уроку.
1. Завдання на розвиток уваги. Учням пропонуються малюнок прямокутного трикутника з числовими даними, який демонструється на протязі 5-7 секунд. Після цього він закривається, а учням пропонується за ним визначити синус, тангенс кута.

2. Рефлексія.
- Що на уроці було найважливішим?
- Що було найцікавішим?
- Що було найскладнішим?
- Над чим слід попрацювати вдома?

3. Оцінювання роботи учнів на уроці з наступною аргументацією.

VІІІ. Домашнє завдання.