Поняття математичної статистики.

В будь-якому дослідженні об'єктивність результатів залежить від точності виміру явищ, їх аналізу і обробки. Статистичні методи дозволяють систематизувати, науково опрацювати і подати матеріали дослідження, перевірити їх наукову достовірність.

Статистичні методи застосовуються при обробці матеріалів психолого-педагогічних досліджень для того, щоб вилучити з отриманих кількісних даних якнайбільше корисної інформації.

Математична статистика являє собою велику і складну систему знань. Не можна розраховувати на те, що кожен педагог чи психолог повністю опанує цими знаннями. Але основним комплексом простих статистичних методів оволодіти не складно. В даному розділі не будуть наводитись складні теоретичні викладки, а тільки практичні рекомендації по використанню найпростіших методів статистичної обробки психолого-педагогічних досліджень.

Доречне застосування цих методів дозволить досліднику, провівши початкову обробку, одержати загальну картину того, що дають кількісні результати його досліджень, оперативно проконтролювати хід досліджень.

Але з самого початку зауважимо, що надмірне захоплення статистикою може навіть зашкодити, якщо аналіз і встановлення причинно-наслідкових зв'язків замінюється набором цифр, складних формул і посилань на різні математичні таблиці.

Математична статистика – не самоціль, а засіб наукового дослідження. Вона не пояснює явищ і не встановлює їх причин, а кількісно описує масові (не одиничні) явища і встановлює емпіричні закономірності.

Не до всіх видів отриманих даних можна застосувати певні статистичні процедури.

В статистичних розрахунках завжди є певна міра умовності, припущення.

Статистика як така не створює нової наукової інформації. Ця інформація або міститься, або не міститься в отриманих дослідником матеріалах. Призначення статистики полягає в тому, щоб одержати з цих матеріалів більше корисної інформації і довести, що ця інформація не випадкова.

Статистичні методи розкривають зв'язки між досліджуваними явищами. Однак необхідно знати, що якою б високою не була імовірність таких зв'язків, вони не дають права досліднику визнати їх причинно-наслідковими відносинами. Статистика змушена приймати до аналізу дані, на які впливає безліч причин. Статистика, наприклад, стверджує, що існує значимий зв'язок між руховою швидкістю і грою в теніс. Але звідси ще не випливає, начебто рухова швидкість і є причиною успішної гри. Не можна, принаймні в деяких випадках, виключити і того, що сама рухова швидкість з'явилася наслідком успішної гри.

Щоб підтвердити чи відкинути існування причинно-наслідкових зв'язків і відношень, досліднику доводиться продумувати цілі серії експериментів.

Знання математичної статистики не може замінити знання сутності питання, яке вивчається.

В наукових роботах статистичні методи застосовуються з метою:

1. характеристики та стислого подання результатів дослідження груп учнів (чи окремих учнів);

2. стандартизації результатів і розподілу їх на рівні;

3. порівняння результатів дослідження двох груп учнів (класів);

4. встановлення зв'язку між явищами педагогічного процесу.

Результатом констатувального етапу педагогічного експерименту є ряд значень, що отримали учні в процесі опитування (тестування, шкалювання, анкетування, бесіди тощо). Наприклад, шкільні оцінки, кількість набраних за тестом балів, час виконання кожним учнем завдання. зріст кожного учня тощо. Вибір методів подальшого статистичного опрацювання залежить від специфіки цих значень, від того, яка вимірювальна шкала використовувалась для визначення тієї чи іншої ознаки.

Математична статистика як дисципліна.

У системі педагогічних дисциплін математичні методи складають основу планування та аналізу результатів педагогічних спостережень і експериментів. Даний курс є базовим для вивчення методів математичної статистики, що використовуються при плануванні та інтерпретації результатів психолого-педагогічних експериментів. Знання, які студенти отримують із навчальної дисципліни "Математична статистика", є базовими для блоку дисциплін, що забезпечують педагогічно-наукову і професійно-практичну підготовку.

Мета навчальної дисципліни "Математична статистика" випливає із цілей освітньої-професійної програми підготовки випускників вищого навчального закладу та визначаються змістом тих системних знань і умінь, котрими повинен оволодіти корекційний педагог за ОКР «Баалавр». Отже, основна мета навчальної дисципліни "Математична статистика" – формування у студентів розуміння теоретичних основ математико-статистичної обробки даних і сутності вибіркового методу дослідження, уміння планувати психолого-педагогічний експеримент, обирати адекватні методи обробки експериментального матеріалу і коректно їх використовувати.

Завдання навчальної дисципліни:

? сформувати знання про основні положення теорії ймовірностей, на яких базується математична статистика; методи планування експериментальних досліджень і обробки отриманих даних;

? навчити вибрати метод статистичного аналізу адекватний розв'язуваній психолого-педагогічній задачі;

? сприяти оволодінню основами роботи з прикладними статистичними пакетами програм обробки і представлення даних для ЕОМ;

? сприяти організації самостійної роботи.

Вивчення «Математичної статистики» передбачає оволодіння студентами наступними знаннями та уміннями відповідно до освітньо-професійної програми і освітньо-кваліфікаційної характеристики:

? вміти на належному науково-методичному рівні організовувати статистичне спостереження за процесами і явищами при організації природного та штучного психолого-педагогічного дослідження;

? знати закони розподілу випадкової величини: біноміальний закон, закон Пуассона, рівномірний розподіл на заданому інтервалі та нормальний розподіл;

? знати основні алгоритми розрахунку статистичних показників;

? використовуючи закони розподілу випадкової величини, обчислювати її числові характеристики;

? вміти проводити первинну статистичну обробку результатів спостереження в тому числі їх зведення та групування;

? вміти проводити аналіз варіації, будувати ряди розподілу, та давати характеристику форми розподілу;

? вміти використовувати основні елементи теорії ймовірностей на практиці при вирішенні конкретних психолого-педагогічних задач;

? розрахувати числові характеристики для заданої вибіркової сукупності, використовуючи математичний апарат теорії випадкових чисел;

? для вибірки з нормального розподілу визначити довірчий інтервал генеральної середньої з заданою довірчою ймовірністю, використовуючи математичний апарат теорії випадкових чисел;

? використовуючи метод найменших квадратів, розв'язувати задачі регресійного та дисперсійного аналізу;

? проводити статистичну обробку результатів вимірювань з використанням пакетів програм Excel і Statistica, тощо;

? вміти обчислювати математичне сподівання, дисперсію та середньоквадратичне відхилення випадкової величини, розуміючи їх математичний зміст.

Як навчальна дисципліна «Математична статистика»:

- базується на попередньо вивчених студентами в середній загальноосвітній школі такого предмету, як "Математика";

- забезпечує високий рівень загальнонаукової підготовки;

- закладає студентам фундамент для подальшого засвоєння ними знань і вмінь з організації власних психолого-педагогічних досліджень, що є необхідною умовою виконання курсових та дипломних проектів на старших курсах.

Математична статистика та її місце в системі наук. Формування біометрії як самостійної наукової дисципліни. Роботи Сантаріо, Бореллі, Бурнеля, А. де Муавра. Виникнення в середині ХVІІ століття теорії ймовірностей та математичної статистики (П.Ферма, Б.Паскаль, Х.Гюйгенс, Я.Бернуллі, П.Лаплас, К.Гайдес, С.Пуасон та П.Л.Чебишев). Розвиток теорії малої виборки В.Госсетом (Стьюдент). Створення теорії планування експерименгта Р.Фішером. Вклад українських та російських вчених в розвиток математичної статистики .

Розробка методів математичної статикики для окремих сфер суспільного життя, науки і освіти. Шляхи і способи отримання об'єктивних цифрових і графічних показників про величину окремих ознак педагогічних об'єктів.

Основні категорії математичної статистики: статистична сукупність, статистичний комплекс, статистична закономірність. Типи статистичних закономірностей. Ознаки: властивості та класифікація.

Способи групування первинних даних. Статистичні таблиці та їх види. Статистичні та варіаційні ряди. Види варіаційних рядів. Математичні характеристики нерівноінтервальних варіаційних рядів. Принципи побудови рівноінтервальних варіаційних рядів: визначення кількості класів, ширини класового інтервалу, центральної величини класового інтервалу (середини класу). Графіки варіаційних рядів: полігон розподілу частот, варіаційна крива, гістограма розподілу частот, кумулята та огіва.

Вибірковий метод

Види та характеристика статистичних спостережень в педагогіці. Програмно-методологічні питання статистичного спостереження. Організаційні питання проведення статистичного спостереження в педагогіці. Форми, види та способи педагогічних спостережень.

Генеральна та вибіркова сукупність. Репрезентативність вибірки. Способи формування вибіркової сукупності. Статистична оцінка та вимоги до неї: незміщеність, надійність, ефективність, достатність. Помилки репрезентативності: середня помилка вибірки, нормоване відхилення, граничні помилка. Точність визначення вибіркової середньої. Визначення оптимальної кількості спостережень у вибірковому дослідженні.

Варіаційна статистика та статистична оцінка

Міри центральної тенденції розподілу для (для порядкових та інтервальних варіаційних рядів): середня арифметична (проста), мода, медіана. Міри оцінки розкиду: розмах варіації, середнє лінійне відхилення; дисперсія середнє квадратичне відхилення та коефіцієнт варіації (для порядкових та номінальних варіаційних рядів). Міри оцінки типу розподілу: коефіцієнти асиметрії та ексцесу.

Статистичні гіпотези та шляхи їх перевірки. Рівні статистичної значимості: рівень ймовірності та рівень істотності. Потужність критеріїв. Класифікація статистичних методів. Можливості та обмеження параметричних і непараметричних критеріїв. Основні види задач у психолого-педагогічних дослідженнях, що вирішуються за допомогою методів математичної статистики.

Перевірка типу розподілу даних і гіпотези про рівність дисперсій

Типи розподілу даних. Нормальний розподіл. Аналіз відповідності виду розподілу ознаки закону нормального розподілу. Використання коефіцієнтів асиметрії та ексцесу. Рівняння Чебишева. Призначення, опис, гіпотези для перевірки, обмеження для застосування критеріїв Колмогорова-Смирнова, Шапіро-Уілка.

Перевірка гіпотези про рівність дисперсій. F-критерій Фішера: призначення, опис, гіпотези для перевірки, обмеження для застосування. Критерій Левена: призначення, опис, гіпотези для перевірки, обмеження для застосування.

Порівняння груп за кількісними та якісними ознаками

Виявлення відмінностей в рівні досліджуваної ознаки. Визначення довірчого інтервалу при порівнянні однієї групи з популяцією та порівнянні двох груп. Огляд параметричних критеріїв. t-критерій Стьюдента: призначення, опис, гіпотези для перевірки, обмеження для застосування. ?2-критерій Пірсона: призначення, опис, гіпотези для перевірки, обмеження для застосування. Огляд непараметричних критеріїв. Q-критерій Розенбаума: призначення, опис, гіпотези для перевірки, обмеження для застосування. U-критерій Вілкоксона-Манна-Уітні: призначення, опис, гіпотези для перевірки, обмеження для застосування. Н-критерій Крускала-Уоліса: призначення, опис, гіпотези для перевірки, обмеження для застосування.

Оцінка достовірності зсуву в значеннях досліджуваної ознаки. G-критерій знаків призначення, опис, гіпотези для перевірки, обмеження для застосування. Т-критерій Вілкоксона: призначення, опис, гіпотези для перевірки, обмеження для застосування. Критерій ?r2-Фрідмана: призначення, опис, гіпотези для перевірки, обмеження для застосування. L-критерій тенденцій Пейджа: : призначення, опис, гіпотези для перевірки, обмеження для застосування.

Багатофункціональні статистичні критерії. Критерій ?*-кутового перетворення Фішера: призначення, опис, гіпотези для перевірки, обмеження для застосування.

Порівняння груп за якісною ознакою. t-критерій Стьюдента: призначення, опис, гіпотези для перевірки, обмеження для застосування. ?2-критерій Фішера з поправкою Йетса: призначення, опис, гіпотези для перевірки, обмеження для застосування.

Аналіз зв'язку двох ознак

Види взаємозв'язків між ознаками в біометрії. Кореляційний аналіз. Метод лінійної кореляції Пірсона: призначення, опис, гіпотези для перевірки, обмеження для застосування. Метод рангової кореляції Спірмена: призначення, опис, гіпотези для перевірки, обмеження для застосування. Оцінка щільності та перевірка істотності кореляційного зв'язку між ознаками.

Багатофакторний аналіз даних

Дисперсійний аналіз. Визначення та основні поняття дисперсійного аналізу в біометрії. Багатофакторний дисперсійний аналіз. Ефекти взаємодій між факторами при багатофакторному дисперсійному аналізі в біометрії.

Регресійний аналіз. Поняття регресії, види регресії. Проста і множинна лінійна модель регресійного аналізу. Знаходження оцінок невідомих параметрів регресії, перевірка їх достовірності, перевірка адекватності моделі. Довірчий інтервал для передбачених значень. Покрокова регресія. Нелінійна регресія.

Кластерний аналіз. Метод головних компонент та факторний аналіз. Основна мета та застосування факторного аналізу в біометрії. Факторний аналіз як метод редукції даних в біометрії. Факторний аналіз як метод класифікації в біометрії.

Сучасні пакети прикладних програм для статистичних обчислень: устрій пакету; робота з даними; проведення розрахунків; графічне представлення результатів аналізу; збереження та друкування результатів. Використання MS Excel та STADIA у педагогічних дослідженнях. Переваги пакетів прикладних програм SPSS (Statistical Package for Social Science), STATA, STATISTICA. Найпоширеніші помилки використання математичних методів в біологічних дослідженнях.

Список використаних джерел.

1. Баева Т.Е. Применение статистических методов в педагогическом исследовании : учеб.-метод. пособие для студентов и аспирантов ин-та физ. культуры / Т.Е. Баева, С.Н. Бекасова, В.А. Чистяков. - СПб. : НИИХ, 2001. - 81 с.

2. Горкавий В.К. Математична статистика: навч. посібн. / Горкавий В.К., Ярова В.В. – К.: ВД "Професіонал", 2004. – 384 с.

3. Михайлычев Е.А. Математические методы в педагогическом исследовании. – М.: Высшая школа, 2008. – 196 с.

4. Волкова П.А. Статистическая обработка данных в учебно-исследовательских работах / П.А. Волкова, А.Б. Шипунов. – М.: Экопресс, 2008. – 60 с.

5. http://6years.net/index.php?do=static&page=Matematika_Statistika – вільний доступ до книг з математичної статистики.

6. http://www.statsoft.ru/home/textbook/ - електронний підручник з статистики StatSoft.

7. Методика навчання і наукових досліджень у вищій школі: [навч.посіб.] С. У.Гончаренко,П. М. Олійник, В. К. Федорченко та ін.]; за ред. С. У. Гончаренка, П. М. Олійника. – К.: Вища шк.., 2003. – 323 с.

8. Професійна освіта: словник / уклад. С. У. Гончаренко та ін.; за ред. Н. Г. Ничкало. – К.: Вища шк., 2000. – 380 с.